Para entender o limite de 1/x quando x tende a 0, é importante analisar o comportamento da função em torno desse ponto. Vamos explorar isso em detalhes.
Primeiramente, é crucial notar que o limite de 1/x quando x tende a 0 não existe. Isso ocorre porque a função 1/x se comporta de maneira diferente dependendo de qual lado de 0 estamos nos aproximando. Vamos analisar os dois casos:
1. Quando x tende a 0 pelo lado positivo (x → 0+):
Neste caso, x é um número positivo muito pequeno. A função 1/x se torna um número muito grande, tendendo ao infinito positivo. Matematicamente, isso é escrito como:
lim (x → 0+) 1/x = +∞
2. Quando x tende a 0 pelo lado negativo (x → 0-):
Neste caso, x é um número negativo muito pequeno. A função 1/x se torna um número negativo muito grande, tendendo ao infinito negativo. Matematicamente, isso é escrito como:
lim (x → 0-) 1/x = -∞
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral não existe. Em outras palavras, não há um único valor para o qual 1/x se aproxime quando x tende a 0. Isso é uma característica das funções que apresentam uma discontinuidade em um ponto.
Para ilustrar melhor, considere a função f(x) = 1/x. O gráfico dessa função tem uma assíntota vertical em x = 0. Isso significa que a função se aproxima cada vez mais dessa linha vertical, mas nunca a toca. À medida que x se aproxima de 0, os valores de f(x) se tornam cada vez maiores em magnitude, mas em direções opostas dependendo do lado de 0 que estamos considerando.
Portanto, o limite de 1/x quando x tende a 0 não existe devido à discontinuidade e ao comportamento assintótico da função em torno desse ponto. Esse é um exemplo clássico em cálculo que ilustra a importância de analisar os limites laterais para entender completamente o comportamento de uma função em um ponto específico.
